Números Enteros

¡Hola!
Dado que en el último examen las notas han bajo, por lo general y a petición de alguna familia, estoy elaborando este programa de trabajo en el bloc, para que podáis prepara los temas del segundo trimestre. 
  
Vamos a estudiar el tema de los números enteros.

Por favor como no todo el mundo entra en el bloc, informa a las familias que conoces, para que puedan utilizar este recurso.

Definición de números enteros. 

Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números»)                                                                         

El buen ejemplo del uso de los números enteros son los termómetros. Todos los números de la parte superior del termómetro (de color negro) son positivos, es decir, con una temperatura superior a cero grado centígrado, y los números rojos, de la parte inferior, son negativos al esta por debajo de cero.

Representación y comparación de los números enteros. 
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. 

Luego -5 > - 7, menos cinco es mayor que menos siete; -3 < 0, menos tres es menor que cero y cualquier número negativo es menor que cero y que cualquier número positivo.

+ 5 < + 7, más cinco es menor que más siete, y cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo.

El mayor número positivo es aquel que tiene mayor valor absoluto, 

El mayor número negativo es aquel que tiene menor valor absoluto. Y el valor absoluto de un número es el que tiene por su figura, sin tener en cuenta el signo.

Suma de números enteros. 

Para sumar dos números:

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:
• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

Ejemplo de sumas de números enteros:

a) ( + 5 ) + ( + 9 ) + ( + 3 ) = ( + 17 ). Como todos los números son positivos, se suman los valores absolutos de los sumandos y se coloca el signo +

b) ( - 5 ) + ( - 7) + ( - 2 ) = (  - 14 ). Como todos los números son negativos, se suman los valores absolutos de los sumandos y se coloca el signo - .

c) ( + 7 ) + ( - 6 ) + ( + 6 ) + ( - 2 ) + ( + 4 ) = ( + 17 ) + ( - 8 ) = ( + 9)

             primer paso: ( +7 ) + ( + 6 ) + ( + 4 ) = ( + 17 )

             segundo:  ( - 6 ) + ( - 2 ) = ( - 8 )

            tercer: restar 17 - 8 = 9 y ponerle el signo del mayor en este caso al ser los positivos, se colocaría el signo +

  ( + 9 ) + ( - 8 ) + ( - 7 ) + ( + 1 ) + ( + 2 ) = ( + 12 ) + ( - 15 ) = ( - 3 ) 

            primer paso: ( + 9 ) + ( + 1 ) + ( + 2 ) = ( + 12 ) 

            segundo: (  - 8 ) + ( - 7 ) = ( - 15 )

            tercer: 15 - 12 = 3 , y ponerle el signo - , a ser mayor el valor absoluto de los negativos

Para esta sumas podemos hacerla por partes: primero sumar los positivos por un lado y los negativos por otro, y luego restar los resultados poniendo el signo de l mayor de los valores absolutos.

Resta de números enteros.

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

Para hacer un resta de números enteros, el primer paso que hay dar es cambiar la operación resta por la de sumar , cambiando el sustraendo de signo.

Ejemplo: 

a) ( + 7 ) - ( + 3 ) = ( + 7 ) + ( - 3 ) = ( + 4 ), cambio de operación, es decir, deja de ser una resta y pasa a ser una suma, pero el sustraendo que en este caso es negativo pasa a ser positivo. Y se resuelve en la pregunta de Suma de números enteros, ya explicada anteriormente.

b) ( + 9 ) - ( - 5 ) = ( + 9 ) + ( + 5) = ( + 14 ), cambio de operación, es decir, deja de ser una resta y pasa a ser una suma, pero el sustraendo que en este caso es positivo pasa a ser negativo.Y se resuelve en la pregunta de Suma de números enteros, ya explicada anteriormente.

Caso de sumas y restas combinadas. 

Todas las operaciones de restar, se transforma en sumas, cambiando los positivos por negativos, y los negativos por positivos.

Ejemplos : ( + 3 ) + ( - 2) - ( + 5 ) + ( - 2 ) - ( + 2 ) - ( + 5 ) = 
( + 3 ) + ( + 2) + ( - 5 ) + ( - 2 ) + ( - 2 ) + ( - 5 ) =
 ( + 5 ) + (  - 9 ) = ( - 4 ).

Otros ejemplos

(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15

(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13

(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4

(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicación de números enteros.

En la multiplicación de números entero, al igual que en la suma, requiere determinar por separado el signo y el valor absoluto.

1º El valor absoluto es el producto de los valores absoluto de los factores.

2º El signo es << + >> si los signos de los factores son iguales,
 y << - >> si son distintos

Ejemplos:

a) ( + 3 ) x ( + 4 ) = ( + 12 )

b) ( - 2 ) x ( - 3 ) = ( + 6 )

c) ( + 2 ) x ( - 6 ) = ( - 12 )

d) ( - 5 ) x ( + 6 ) = ( - 30 )

Regla de los signos.

( + ) x ( + ) = ( + )

( + ) x ( - ) = ( - )

( - ) x ( - ) = ( + )

( - ) x ( + ) = ( - )

Otros ejemplos:

Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , 
(+17) + (+26) = +43 , 
(−41) + (+19) = −22 y 
(−33) + (−28) = −61

Multiplicaciones combinadas.

a) ( + 3 ) x ( - 6 ) x ( + 2 ) x ( - 5 ) =  (  - 180 )

3 x 6 x 2 x 5 = 180       
 ( + )  x ( - ) x ( + ) x ( - ) = ( - )

Recuerda que << x >> de multiplicar se puede cambiar << · >>

Divisiones de números enteros.

En la división de números entero, al igual que en la suma y en la multiplicación, requiere determinar por separado el signo y el valor absoluto.

1º El valor absoluto es el de la división de los valores absoluto entre el dividendo y el divisor.

2º El signo es << + >> si los signos de los dos son iguales, y << - >> si son distintos

Ejemplos:

a) ( + 12 ) /  ( + 3 ) = ( + 4 ), 
12 dividido entre 3 = 4, 
 << + >> dividido entre << +>> = << + >>

b) ( + 15 ) /  ( - 5 ) = ( - 3 ),  
15 dividido entre 5 = 3,  
<< + >> dividido entre << - >>  = << - >>

c) ( - 6 ) /  ( - 3 ) = ( + 2),
6 dividido entre 3 = 2 ,
 << - >>  dividido ente << - >> = << + >>

d) ( - 18 ) /  ( + 6 ) = ( - 3 ).
18 dividido entre 6 = 3,
<< - >> dividido entre << +  >> = << - >>

Potencia de un número entero.

Toda potencia de un número positivo siempre da positivo.

Ejemplo: ( + 3 ) ⁴  = ( + 81 ) 

Las potencias de número negativo dependen del exponente:

Si es par da siempre positivo.

Ejemplo: ( - 2 ) ⁴ = ( + 16 )

Si el exponente es impar de negativo.

Ejemplo: 

( - 3 ) ⁵ = ( - 243 )

Raíz cuadrada de un número entero.

Toda raíz de un número entero positivo da siempre dos resultado, uno positivo y otro negativo.

Ejemplo:  

 

La raíz de los números negativos no existe.

Ejercicios del tema 

201   Expresa con números positivos o números negativos.

a) Pitágoras nació en el año 572 a. C.

b) Amaya tiene 186 €

c) Tercer sótano

d) La temperatura mínima de ayer fue de tres grados bajo cero

e) La altura del Mulhacén es de 3.481 metros.

f) Debo a hermano 15 €

202   Representa en una  recta numérica estos números:

a) ( - 2),   

b) ( + 5 ),  

 c) ( + 7 ),   

d) ( - 4)   

e) ( 0 ), 

f) ( + 6  )  

y  g) ( + 4).

203   Ordena de menor a mayor los siguientes números: 

+5, -3, 0, + 4, -7, +2, y -5

204   Ordena de mayor  a menor  los siguientes números: 

+6, -7, 0, - 4, +7, +3, y -3

205   Escribe el signo >o < según corresponda,

a)      - 4       -2                      b)      +2      -2              c)     -7       -11

d)      + 5       0                       e)       - 3      0                f)     -9       +1

Los ejercicios siguientes serán similares a los anteriores, para reforzarlos, como por ejemplo las actividades de las páginas 64, 65, 66 y 67 del libro de matemáticas.

S/n   Calcula:

a) ( + 4 ) + ( + 5 ) =                        b) ( +2 ) + ( - 6 ) =

c) ( - 9 ) + ( - 3 ) =                           d) ( + 5 ) + ( - 5 ) =

e) ( - 3 ) + ( + 4 ) + ( - 6 ) =

f) ( + 9 ) + ( - 2 ) + ( +5 ) =

S/n   Carlos que vive en el segundo piso, tiene que subir tres plantas para visitar a su amigo Javier. ¿En qué planta vive Javier?

Datos                                    Operaciones                                   Solución              

S/n   Mohamed ha tenido un día de mala suerte. Durante el recreo ha perdido seis cromos, y al mediodía, otras ocho, ¿Cuántos cromos ha perdió hoy?

Datos                                     Operaciones                                     Solución    

S/n   Calcula

a) ( + 4 ) – ( + 2) =                          b) ( + 6 ) – ( - 3 ) =

c) ( - 9 ) – ( + 8 ) =                          d) ( - 7 ) – ( - 8 ) =

e) ( - 3 ) – ( + 9) – ( + 2 ) – ( + 6 ) – ( + 9) – ( - 3 ) =

S/n   El pasado jueves, la temperatura a las doce de la noche fue de cuatro grados. A las tres de la mañana, la temperatura bajó cinco grados. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a las tres de la mañana?

Datos                                      Operaciones                                     Solución    

S/n   Tienes 38 € en la hucha y quieres comprar una memoria USB de 512 MB que vale 66 €. ¿Cuántos  € tienes que pedir prestados?

Datos                                      Operaciones                                     Solución    

Los ejercicios siguientes serán similares a los anteriores, para reforzarlos, como por ejemplo las actividades de las páginas 68, 69, 70 y 71 del libro de matemáticas.

S/n   Multiplica los siguientes números enteros:

a) ( + 6 ) x ( + 4 ) =                         b) ( + 4 ) x ( - 8 ) =

c) ( - 5 ) x ( - 3 ) =                            d) ( - 2 ) x ( + 6 ) =

S/n   Calcula:

a) ( + 2 ) x ( + 9 ) x ( - 2 ) x ( + 3 ) =

b) ( - 2 ) x ( - 5  ) x ( + 6 ) x ( + 2 ) =

c) ( -2 ) · ( + 7 ) · ( - 8 ) · ( + 3 ) · ( + 1 ) =

d) ( - 7 ) ·  ( 2 ) · ( - 3 ) · ( 3 ) =

e) ( 20 ) · ( - 3) · ( 0 ) · ( - 9 ) =

S/n Calcula:
a) ( + 18 ) :  ( + 3 ) =
b) ( + 15 ) : ( - 5 ) =
c) ( - 14 ) : ( - 2 ) =
d ( - 20 ) : ( + 10 ) =

S/n Calcula
a) ( + 2 ) ⁵ =

b) ( - 4 ) ³ =

c) ( - 6 ) ² = 

d) ( + 10 ) ⁷ = 

Los ejercicios siguientes pueden ser los de las páginas 72 y 73 de libro.
y para repasar los temas anteriores la página 75.

Continuar con el tema de los números decimales.