Operaciones con fracciones

¡Hola!

Vamos a trabaja con las fracciones.

1ª) Comparar fracciones .-
Para comparar las fracciones podemos emplear las siguientes formas:
a) Representar las fracciones mediante dibujos:



b) Efectuando la división que representa dicha fracción

3/4 = 0´75     <     1/5 = 0´20         <    2/15 = 0´1333    

c) Convertir las fracciones a un común denominador.

Para convertir estas dos fracciones (5/6 y 4/9) a un común denominador , se puede hacer de dos maneras:
 1ª . Multiplicando numerador y denominador de cada fracción por el denominador de la contraria:
Ejemplo:

5/6  y  4/9

5x9 / 6x9 = 45/54          y    4x6 / 9x6  =  24/54

La fracción resultante que tenga mayor numerador es la más grande, luego 4/9 < 5/6
  2ª . Obteniendo M.C.M. de los denominadores, y este será el denominador de las nuevas fracciones. Para obtener los numeradores, se divide M.C.M. entre cada uno de los denominadores y se multiplica poca dada numerador.
Ejemplo:

5/6  y  4/9

M.C.M. de  6 y 9 
6 = 2 x 3
9 = 3²

M.C.M. = 2 x 3² = 2 x 9 = 18

Para la primera fracción se divide 18 / 6  = 3 y se multiplica 5

= 15

15/18

Para la segunda fracción se divide 18 / 9  = 2 y se multiplica 4

= 8

8/18, esta fracción es mayor por tener el numerador más grande


Si fueran varias las fracciones que hay que comparar es mejor 

utilizar este segundo sistema, para que las operaciones sean más 

pequeñas

Ejemplo.

5/12       ,      4/8        ,    3/18       y     5/6

En la primera fracción tendrá como de denominador el producto de los cuatro denominadores ( 12 x 8 x 18 x 6 ) y el numerador el producto de  su numerador  por todos los denominadores menos por el suyo ( 5 x 8 x 18 x 6 ).

En la segunda fracción tendrá como de denominador el producto de los cuatro denominadores ( 12 x 8 x 18 x 6 ) y el numerador el producto de  su numerador  por todos los denominadores menos por el suyo ( 4 x 12 x 18 x 6 )

En la tercera fracción tendrá como de denominador el producto de los cuatro denominadores ( 12 x 8 x 18 x 6 ) y el numerador el producto de  su numerador  por todos los denominadores menos por el suyo ( 3 x 12 x 8 x 6 )

En la cuarta fracción tendrá como de denominador el producto de los cuatro denominadores ( 12 x 8 x 18 x 6 ) y el numerador el producto de  su numerador  por todos los denominadores menos por el suyo ( 5 x 12 x 8 x 18 )

1ª = 4320/10368              2ª = 864/10368
3ª = 1728/10368              4ª = 8640/10368

La fracción más pequeña es la 2ª < 3ª < 1ª < 4ª

Si este ejercicio lo hacemos con M.C.M. de los denominadores:
M.C.M. de los denominadores (12, 8, 18 y 6)

12 = 2² x 3

8 = 2³

18 = 2 x 3²

6 = 2 x 3 

M.C.M. = 2³  x 3² = 8 x 9 = 72

El denominador de todas las fracciones es 72

y los numeradores de cada una se obtienen dividiendo el 72 entre 

cada uno de los denominadores y multiplicando por el 

correspondiente numerador.

1ª     72 : 12 = 6 x 5 = 30

2ª     72 : 8 = 9 x 4 = 36

3ª     72 : 18 = 4 x 3 = 12

4ª     72 : 6 = 12 x 5 = 60

2ª) Suma de fracciones.- 

Para sumar fracciones, se nos pueden presentar dos casos:

1º Que las fracciones tengan el mismo denominador.

2º Que las fracciones tengan distinto denominador.

Cuando las fracciones tengan el mismo denominador, se suman los 

numeradores y a esta suma se le pone por denominador en que 

tenía.

Ejemplo

4/5 + 7/5 + 2/5 = 13/5


Cuando las fracciones tienen distinto denominador, se reducen a 

un común denominador y después se opera como en el caso 

anterior.

Ejemplos:

4/9 + 5/6 + 2/3 = 4 x 6 x 3 / 9 x 6 x 3 + 5 x 9 x 3 / 9 x 6 x 3 + 

2 x 9 x 6 / 9 x 6 x 3 = 72 / 162 + 135 / 162 + 108 / 162 = 

315 / 162

O con el M.C.M. de los denominadores ( 9 , 6 y 3 )

9 = 3²

6 = 2 x 3

3 = 3

M.C.M. =  3² x 2 = 9 x 2 = 18

La primera fracción de la suma se obtiene dividiendo

18 : 9 = 2  x 4 = 8 luego la fracción 8 / 18

La segunda fracción de la suma se obtiene dividiendo

18 : 6 = 3  x 5 = 15 luego la fracción 15 / 18

La tercera fracción de la suma se obtiene dividiendo

18 : 3 = 6  x 2 = 12 luego la fracción 12 / 18.

8/18 + 15/18 + 12/18 = 35/18

3ª) Resta de fracciones.- 

Al restar fracciones se nos pueden presentar dos casos:

1º Que las fracciones tengan el mismo denominador.

2º Que las fracciones tengan distinto denominador.

Cuando las fracciones  tienen el mismo denominador, se restan los 

numeradores y a la diferencia resultante se le pone por 

denominador el que tenían

Ejemplo:

8/12 - 5/12 = 3/12

Cuando las fracciones tienen distinto denominador, se reducen a

un común denominador y después se opera como en el caso 

anterior.

Ejemplo:

4/5 - 3/6 = 24/30 - 15/30 = 9/30.

De donde ha salido 24/30 de multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y de multiplicar el denominador de la primera por el denominador de la segunda.

De donde ha salido 15/30 de multiplicar el numerador de la segunda fracción por el denominador de la primera y de multiplicar el denominador de la segunda  por el denominador de la primera.

4ª) Multiplicar fracciones.-

Para multiplicar fracciones basta multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí.

Ejemplo

3/4 x 2/5 x 6/8 = 3x2x6 / 4x5x8 = 36/160

5ª) Dividir fracciones.-

Para dividir fracciones sólo hay que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda.

Ejemplo

3/5 : 4/2 = 3/5 x 2/4 (la fracción inversa de 4/2) = 6/20

6ª) Potencia de una fracción.

Para elevar una fracción a una potencia, se eleva numerador y denominador a dicha potencia.

Ejemplo

(3/5)⁴ = 3⁴ / 5⁴ = 81/625

7ª) Simplificar fracciones.

Simplificar una fracción es convertirla en irreducible.

Para ello se utiliza el M.C.D. de los dos miembros de la fracción.

Ejemplos

24/150 = 4/25. esta fracción es irreducible.

M.C.D. de 24 y 150

24 = 2³ x 3

150 = 2 x 3 x 5²

M.C.D. = 2 x 3 = 6

24 : 6 = 4 , es el numerador de la nueva fracción

150 : 6 = 25 , es el denominador de la nueva fracción